|
К рубрикатору "Эссе и статьи Исмаилова" |
Part 0 . Обозначения .
1. x^y - x в степени y , x^(-1) - обратная к x .
2. inf , sup - точная нижняя и верхняя грани .
3. Abs - абсолютное значение ( модуль ) действительного числа .
4. Локальный диффиоморфизм A на B - общее отображение из всего A на всё В , такое что для любых x из A и его образа y из B существуют окрестности X у x и Y у y , что сужение этого отображения в отображение из X на Y - диффиоморфизм .
5 . Если имеем функцию f : R -> M , то по теореме о непрерывной функции R / ker f ~ Im f , где ~ - гомеоморфизм , а ker f - эквивалентность , склеивающая точки с одинаковый образом у f . Областью инъективности называется любое множество представителей классов ker f .
6 . Векторное поле - любой набор касательных векторов данного многообразия , такой что в каждой точке многообразия есть не более одного вектора. Векторное пространство можно рассматривать как отображение с многообразия в R n с конечным числом корней . Гладкое векторное поле соответствует гладкому отображению , в нормализованом векторном поле все вектора , кроме нулевых , имеют длину один . Для всякого многообразия с конечной эйлеровой характиристикой (а она конечна почти для всех рассматриваемых многообразий) векторых полей бесконечно много и для каждого конечного семейства векторов можно построить гладкое векторное поле с этими векторами .
7. Позитив f(x) = { f(x) если f(x)>=0, 0 в остальных случаях} , негатив = f(x) - позитив. Обе функции положительные; если f суммируема, то и позитив с негативом также суммируемы.
Part 1 . 3d-многообразия как метрическое пространство .
Мы будем рассматривать множество AW3 = { всех трёхмерных гладких многообразий } . В обычном представлении это символизирует собой множество всевозможных состояний мира в данный момент времени .
Замечание 1 . Мы верим в общую теорию поля , что в дополнение с принципом , что гравитация есть просто искривление пространства , даст идею о том , что мир есть просто трёхмерное многообразие ( компакное ! ).
Замечание 2 . При этом мы не будем рассматривать всякие чёрные дыры , которые нарушают структуру многообразия , а просто скажем , что все особенности суть межмировые переходы ( это значит , что по такой окрестности на самом деле склеены несколько многообразий ) .
Множество AW3 слишком велико , чтобы его можно было всерьёз рассматривать , т.к. на нём не ввести даже приличной топологии . Поэтому имеет смысл рассмотреть следующюю эквивалентность - два многообразия эквиваленты , если между ними существует локальный диффиоморфизм . Фактор по такой эквивалентности (т.е. множество классов) будем называть D3 , а любой класс - кристаллом миров .
Замечание 3 . Само название не принципиально, но позволяет показать, что и теория существования независимых миров сама по себе (в "Дипломированном чародее" Ф.Прэтта и Л.Спрег де Кампа ей дали название "Парафизика", коего и мы будем придерживаться), сама имеет надтеорию ("пара-парафизика"), - во многих случаях единственный способ объяснить различие в глобальных моделях вселенной как множества независимых миров .
Замечание 4 . Заметим, что между многообразиями существуют не только диффиоморфизмы, но например гомеоморфизмы (дающее G3), конформные отображения ( K3 ) и другие морфизмы, но т.к. мы считаем, что миры должны обладать хотя бы свойством подобия (иначе говорить о межпространственных переходах просто бессмыслено), то мы должны признать, что хотя бы локально миры должны быть похожы.
На D3 теперь уже довольно просто определить метрику. В качестве расстояния между A и B лежащими в одном кристалле положим ( здесь m - среднее значение ) d ( A , B ) := inf { m(abs(log¦g'¦)) : по всем локальным диффиоморфизмам }.(1) ( g' - матрица Якоби отображения g , ¦ g' ¦ - модуль её определителя. Таким образом расстояние это среднее значение необходимых искривлений , котооле необходимо сделать , чтобы из A получить B . Логарифм же необходим , чтобы полученая функция была симетричной и удовлетворяла неравенству треугольника .
Теорема 1 . d ( A , B ) - метрика .
Д - во . 1 . Рефлексивность . Среди дифиоморфизмов возьмём тождественный . Для него m log ¦ g' ¦ = 0 . Отсюда d ( A , A ) = 0 .
2 . Симетричность . т.к. g^(-1) - диффиоморфизм , а log ¦ g^(-1)' ¦ = log ( 1 / ¦ g' ¦ ) = - log ¦ g' ¦ , то abs ( log ¦ g^(-1)' ¦ ) = abs ( log ¦ g' ¦ ) , откуда d ( A , B ) = d ( B , A ) .
3 . Неравенство треугольника . Если g : A -> B , h : B -> С - диффиоморфизмы , то существует k = h • g ( композиция ) , причём ¦ k' ¦ = ¦ h' ¦ * ¦ g' ¦ , откуда log ¦ k' ¦ = log ¦ h' ¦ + log ¦ g' ¦ , сследовательно очевидно , что d ( A , B ) + d ( B , C ) Є d ( A , C ) .
Замечание 5 . Если представить себе , что диффиоморфизм это движение между мирами с единичной скоростью , то d ( A , B ) это , в некотором смысле , минимальное усилие , которое нужно приложить к многообразию A , чтобы оно перешло в многообразие B . Кроме того , т.к. при наличии линейного отображения между A и B d ( A , B ) = 0 , то мы имеем принцип относительности - мир, при рассмотрении из двух лабораторий, прямолинейно и равномерно движущихся друг относительно друга, должен выглядеть одинаково.
Part 2 . Время .
Так как у нас есть метрика , то она порождает топологию открытых шаров в этой метрике . Теперь у нас есть базис для определения понятия времени .
Определение 1 . Семейство W многообразий из A ( A - класс D3 ) с выделеным миром M0 ( многообразие отсчёта ) & набор функций Fi : M0 -> A , для всех i из R , называется временем ( временной линией ) тогда и только тогда , когда
T0 . Fi - локальный диффиоморфизм для любого i из R .
T1 . Для любого i из R - M ( i ) = { Fi ( x ) ¦ для всех x из M0 } - многообразие из W .
T2 . Для любого M из W существует t из R : M = M ( t ) . M0 = M ( 0 ) .
T3 . Отображение M : R -> A - непрерывно .
Замечание 6 . Аксиомы T1 , T2 и T3 означают , что время ( временная линия ) есть , в некотором смысле , гомотопия между многообразиями из одного класса D3 . T0 - необходимо условие на эту гомотопию , т.к. хочется оставаться в рамках локальных диффиоморфизмов ( в некотором смысле это очевидно , т.к. почти все объекты движутся имено во времени ) .
Позднее замечание 6'. О выборе M0. Абсолютно очевидно, что от M0 ничего не зависит, т.к. если взять M0' = Fi (M0), Fj' = F (j-i), то мы снова получим ту же временную линию.
Теперь необходимо заметить , что многие времена , на самом деле , изоморфны , т.к. при одинаковом изменении всех Fi мы получим ещё одно время , которое отличается лишь растяжением/сжатием координаты i . Отсюда есть необходимость ввести параметризацию . Но для этого нужно заметить , что само по себе время порождает внутреннее расстояние таким образом : если
v ( i ) = lim m ( abs ( log ¦ Fj,i ¦ ) ) , (2)
j -> i
где Fj,i = Fj • Fi^(-1) , тогда
Їj
La( i , j ) = ¦ v ( t ) dt , (3)
їi
где a - данная временная линия . Это даёт нам длинну любой кривой в A , а расстояние тогда можно определить так :
D ( A , B ) = inf { La ( 0 , 1 ) ¦ a - время , M(0) = A , M(1) = B } (4)
Из диффиренциальной геометрии теперь несложно видеть , что справедлива
Теорема 2 . Топологии на A , порождаемые d и D , совпадают .
Определение 2 . Время a называется (натуральной) параметризацией , если La ( i , j ) = abs ( j - i ) для любых i и j .
Замечание 6 . О возможных видах времени и принцах Амбера .
Несложно видеть , что время бывает линейным ( тогда M - инъекция ) , но это не единственный варант . Например в случае если ker M = { x ў x + ky ¦ для любых x из R и y из Z и фиксированного k } , то областью инъекции M будет кольцо ( как топол.пр-во с наследуемой из R¤ топологией ) . Значит имеем циклическое время ( события будут повторятся с периодом k) . Но и это не все варианты . Несложно представить себе спиралевидное время , временную линию , у которой события , приходящиеся на определённое множество точек времени , совпадают , etc . Тут есть огромное поле деятельности , посвященное межвременным переходам ( путешестиям по паралельным мирам , ведь обычно под миром понимают то , что мы называли временной линией ) , а также ветвлению времени , но мы оставим его , поскольку ничего содержательного ( пока ) сказать не можем . Но несложно видеть , что если рассматривать время как кривую на множестве миров ( в классе D3 ) , то межвременные переходы суть гомотопии (!) этих кривых .
Part 3 . Информационные потоки .
Как известно из дифференциальной геометрии , в каждой точке многообразия можно определить первую и вторую основные квадратичные формы . При этом они не зависят от выбора параметризации .
Определение 3 . Информацией в точке называется определитель второй квадратичной формы в этой точке , т.е. гауссова кривизна поверхности в данной точке .
Замечание 7 . Данное определение кажется странным , но становится более очевидным , если заметить , что в отличие от силы , которая воздействует на мир в первом порядке , информация действует во втором . Кроме того , данное определение не следует рассматривать как общее определение любой информации , в целом понятие информации гораздо сложнее , это лишь величина воздействия информации во времени .
Замечание 8 . Несложно видеть , что во времени информация в точке изменяется непрерывно ( потому что в нашем определении не дано понятие катастрофы , которое и приводит к разрывности информации , но не пространства ) . Но хотелось бы понять , как распространгяется информация в данной модели . Как известно , локально информация стремится распространятся по кратчайшему пути ( для этого хорошим прмером будет свет , в фотонной модели он распространяется по кратчайшей ) . Но это означает , что информация распространяется по геодезическим ( правда , пока по многобразию временной линии ) .
Определение 4 . Информационный путь - натурально параметризованная геодезическая кривая на многообразии .
Теорема 3 . Для каждой точки a и геодезической во временной линии с началом в пространстве A , окрестностность U точки a , что сужение геодезической на U , спроецированное на A ( отображением Fij ) , есть информационный путь A .
Доказательство очевидно в силу диффиоморфности Fij .
Информационный путь локально представляет путь информации , а значит имеет смысл рассматривать вектор переноса в каждой точке этого потока . То что получится можно дополнить до гладкого векторного поля ( в некоторых точках оно будет равно 0 ) . Итак получаем :
Определение 5 . Информационный поток это гладкое вектороное поле . Полной информацией в данной точке называется набор всех потоков , в которые данная точка входит с ненулевым значением .
Замечание 9 . Об информацирнной войне .
Данное определние интересно тем , что оно позволеят постороить систему координат , в которой базисными векторами будут является информационные потоки . Это , реально , означает умение строить такой набор дейтвий и информации , который приведёт к рассогласованию реальных координат и информационных , что , как известно , является задачей информационной войны . Итак мы ссобираемся задаться вопросом о координатах многообразия . Тут надо определиться , что координатами является любое погружение (!) многообразия в R№ ( n - натуральное ) и набор гладких векторных полей на этом многообразии , так что в одной точке вектора из разных векторных полей имеют скалярное произведение равное 0 . Реальные координаты - вложение в R№ , с наследуемыми векторными полями диффиренцирования вдоль координатных линий афинного пространства . Информационные координаты могут и не порождаться никаким погружением , но тогда хочется иметь в некоторой точке несколько нулевых векторов из разных координатных полей . Определение 6 . Для информационных потоков очевидно можно ввести сумму , скалярное произведение и умножение на вещественное число . Структура , наделённая такими операциями называется информационная алгебра . Теорема 4 . Информационная алгебра - свободный R-модуль . Доказательство . Легко видеть , что информационная алгебра есть модуль над R ( она есть группа по сложению с умножением на элементы из R ) , кроме того в ней есть конечный базис ( вложение в 7-мерное афинное пространство всегда есть , оно даёт не более 7 порождающих потоков ) . Следовательно , построенная структура есть к.п. R-модуль .
Part 4 . Пространственные объекты .
Замечание 10 . Пока все информационные понятия были определены для точек многообразия , хотя в реальности информацию следует рассматривать лишь для целых подмножеств , рассмотренных во времени . Тут мы заметим , что такая структура соответствует временной линии - подмножеству , что даст :
Определение 7 . Пространственным объектом разывается такая временая линия ( V , V0 , Ei ) , что V0 - подмногообразие M0 , а Fi ( V0 ) изоморфно Ei ( V0 ) .
Для пространственного объекта характерно преобразование информационного потока , если только он внутренне согласован с этим объектом , что означает лишь то , что вдоль данного потока внутри объекта можно задать оператор связность ( это понятие из дифференциальной геометрии ) , которая позволит ввести паралельный перенос информации . Кроме того , объекты обладают некоторым параметром , которое полезно воспринимать как степень насыщаемости данного объекта . Определяется данная величина объекта O в момент t как :
Infor ( O , t ) = sup { P ( x ) ¦ xєO } ,
где P - плотность информации в точке x, т.е. градиент информации в этой точке. Несложно видеть, что информационная насыщеность объекта O есть гармоническая функция. А это означает, что максимум и минимум информации объекта несет его граница.
Замечание 11. О физиономике etc. Рассмотрим, к примеру, человека. Как следует из выше изложенного, максимум информации объекта (и, следовательно, об объекте) несет граница человека. Таким образом, разные учения об соответствии наружных признаков со внутренней структурой личности несут в себе зерно истины. Кроме того, так как по теореме об интегральном продолжении с граници (следствие одной из теорем Коши), для задания функции необходимо иметь лишь её значение на границе, то данные приближения могут быть рассмотренны как варианты интегрирования функций 3-х переменных определенного класса.
Замечание 12. Информация, содержащаяся в объекте, лежит внутри объекта, т.е. мы придерживаемся принципа "сознание определяет бытие". Это можно понять, если считать, что информированность объекта, это все то, о чем он "знает", т.е. набор внутренних свойств объекта. Ложность/истинность информации пока не рассматривается.
Определение 8. Соотношение информации это интеграл по разности информаций двух объектов на их объединении ( обозначение - Inf(A,B) ).
Замечение 13. Это определение надо понимать так - соотношение информаций есть величина совпадений информаций у двух объектов. Объединение выбрано для того, чтоб интегрирование происходило по компактному множеству, хотя, очевидно, любой компакт, содержащий оба множества, подойдет (на дополнении до компакта объединения объектов информированность объектов равна 0).
Определение 9. Информационная сопротивляемость пространства A в точке x есть предел соотношений информаций у объектов, образующих фильтр в этой точке.
Теорема 5. В каждой точке A сопротивляемость определена коректно.
Доказательство. Пусть Xi и Yi - два фильтра, что lim Inf(Xi, Xi+1)*¦Xi¦* ¦Xi+1¦ <> lim Inf(Yi, Yi+1)*¦Yi¦*¦Yi+1¦. Тогда lim ¦Inf(Xi, Yi)¦ > 0, то есть предел некоторой бесконечно малой величины не равен нулю.
Замечание 14. В данном случае мы определили сопротивляемость пространства информационным потокам, опираясь на имеющиеся уже определение потоков, тем самым получив векторное поле сопротивлений. Несложно видеть, что общее сопротивление (интеграл) по замкнутому информационному потоку не равно нулю. Это есть причина того, что при распространении информации она искажается в силу искривленности пространства. Если бы пространство было эвклидовым (то есть сопротивления образовывали бы потенциальное поле), то такой эффект бы не наблюдался - довод в пользу неэвклидовости пространства.
Определение 10. Информационный обмен между объектом A и объектом B есть множество информационных потоков, таких что они проходят через A в момент t1, а через B в t2, где t1 <= t2. Обозначение - Flow (A,B). Информационный обмен порождает векторное поле (подполе поля информации).
Замечание 15. Теперь пришло время ввести индукцию двух объектов A и B друг на друга. Легко видеть, что передаваемая от A к B информация влечет изменение внутренней структуры В, которое в свою очередь передает информацию A, et cetera. В пределе (согласно второму закону термодинамики), система A-B должна прийти к равновесному состоянию, что означает, что A и B станут подобными, в том смысле, что между ними, будет автоморфизм, переводящий информационный обмен из A в B в информационный обмен от B к A. Это дает нам возможность такого определения:
D dA D dB -- -- (x) = Flow (A,B) (x) , -- -- (x) = Flow (B,A) (x) , где (5) dT dt dT dt
значение информационного обмена в точке x это вектор этого поля с налчалом в этой точке, а T - неудачно записанная буква тау. Это очевидно, так как по определению 3 информация - гауссова кривизна пространства.
Теорема 6. Если в пространстве есть лишь объекты A и В, то их изменение описывается следующим образом (при x стремящимся к 0)
A(x) = A(0) + x*dA/dt(x) + x¤/2*Flow(B,A) (x) + o(x¤) (6-1), B(x) = B(0) + x*dB/dt(x) + x¤/2*Flow(A,B) (x) + o(x¤) (6-2).
Доказательство. Эта теормема есть очевидное следствие формулы разложения в степенной ряд и определения индукции объектов (5).
Part 5. Парадокс Донды и разумные компьютеры.
Определение 11. Силой информации в данной точке x в момент t мы будем называть F(x,t) = d/dt Infor (O , t) (x) / ¦Flow ( M(t) , O(t) )¦.
Замечание 16. Из (7) следует, что во всяком стабильном пространсве F(x,t) < 1. Далее мы рассмотрим объекты, для которых F(x,t) близко к 1.
Теорема 7. Для любого информационного объекта O, F(x,t) - суммируема по t, причем если
Ї
Fd(t) = ¦ F(x,t) dx , то (7)
ї O
Fd (t) = C * Infor ( O , t ) , где C - мера O,
Доказательство. Легко видеть, что d/dt Fd(t) = D/dt F(x,t) = d/dt ¦Flow ( M (t) , O(t) )¦ * d/dt Infor ( O , t ) / ¦ Infor ( O , t ) ¦, откуда имеем d/dt Fd(t) = C1 * d/dt Infor ( O , t ) , что влечет за собой суммируемость. Кроме того, Fd (0) = 0 = C1 * Infor ( O , t ), откуда имеем (7).
Теперь, вооружившись определениями предыдущего параграфа приступим к исследованию крайних случаев. Из теоремы 5 следует, что пространство изменяют не только силы (которые придают телу скорость, т.е. действуют по первой производной пространства), но и информация. А это означает, что при сверхувеличении информации в пространстве должен происходить разрыв - чёрная дыра (вспомним рассказ "Профессор Донда" С.Лема).
Итак, основная теорема этой части звучит так:
Теорема 8. Пусть в пространстве M находится объект O такой, что
d/dt Infor ( O , t ) > Flow ( M(t) , O(t) ),
тогда дальнейшее развитие приводит к катастрофе, известной под названием "чёрная дыра".
Доказательство. Пусть максимум информации объекта O находится в точке 0. Тогда из (7) Fd (t) = C * Infor ( O , t ) >= С, что означает выход информации об объекте из нормальной шаровой окрестности (т.е. на поле Якоби пойдут сопряженные точки), что влечет наличие края M в объекте O.
Замечание 17. Теперь пускай Infor ( O , t ) = o(1)*Flow (M(t),O(t)). Функция o(1) = Di (O,t) есть показатель количества необработанной информации (кстати, предыдущая теорема утверждала, что если обработанной информации больше, чем произведенной, то эта информация должна взяться из некоторого источника). Обработкой информации естественно называть d/dt Di (O,t), что дает нам возможность определить разумную деятельность как наличие положительной обработки. Степень разумности тогда есть мера множества тех t, для которых d/dt Di (O,t) > 0, а разумная работой - интеграл по позитиву обработки, антиразумной - по негатитву.
Теорема 9. Пусть m - степень разумности O, R - разумная работа, AR - антиразумная. Тогда (формула разумных работ).
Ї
( R/m + AR/(C-m) ) / 2 > ¦¦ Fd ( O , t ) dt.¦ (8)
ї O
Доказательство. Очевидное следствие теоремы о интегральном среднем.
Замечание 18. Теперь мы можем оценивать величину воздействия т.н. разума на мир, но здесь легко заметить, что работа складывается из двух величин - разумной и неразумной. Итак:
Определение 12. Объект называется разумным, если даже R/m превосходит значение модуля указаного интеграла.
Part 6. Заключение
Дойдя до определения такого странного понятия, как разумность информационного объекта, я обнаружил, что для дальнейшего продолжения работы в этом направлении мне необходим более слвершенный аппарат анализа инфорамционных потоков, в том числе единая теория поля, которую я, однако, знаю весьма поверхностно. Вероятно, я займусь анализом информационных взаимодействий в следующей работе, а эту, наконец-то, завершу.
Какие выводы можно сделать из моей модели? Не очень великие, но хоть что-то: информация (и магия определяемая как инструмент работы с информацией) есть свойство пространства, следовательно должна изучаться стандартными математическими методами, первую попытку коего анализа я представил. Далее, вселенная, рассмотренная как система, имеет противоречиями искривления, или, более обще - информацию, что означает, что информация - источник развития вселенной, что было показано. Механизмы же этого будут рассмотрены в дальнейшем.
© 2005 Р.А. Исмаилов